Version Française abrégée

Les ondelettes récemment découvertes par I. Daubechies constituent une base orthonormale de fonctions à support compact et de carré sommable sur la droite ou le cercle. Ces ondelettes possèdent la proprieté qu'un ensemble fini d'entre elles, convenablement construit, engendre un espace fonctionnel contenant tous les polynômes de degré inférieur ou égal à un degré donné. Ces diverses propriétés suggèrent que les ondelettes peuvent être utiles pour la résolution numérique des équations aux dérivées partielles. Dans cette note, on présente des résultats relatifs à la résolution numérique de l'équation de Burgers

$$u_t -uu_x=\sigma u_{xx}$$

par les méthodes d'approximation utilisant les ondelettes à support compact mentionnées ci-dessus.

La méthodologie utilisée combine des méthodes de Galerkin classiques avec les ondelettes et sera dénommée méthode d'ondelettes-Galerkin. Les bases de Galerkin utilisées dans cette étude sont dérivées d'une fonction génératrice $\varphi$, à support compact, satisfaisant

$$\varphi(x)=\sum a_k\varphi(2x-k),$$

les $a_k$ étant ajustés de façon à donner à $\varphi$ des proprietés convenablement choisies, concernant par exemple sa regularité. Les calculs présentés dans cette note font appel à une fonction $\varphi$ telle que six coefficients $a_k$ seulement sont différents de zéro. La base de Galerkin est construite à partir de $\varphi$ et de ses translatées $\varphi(x-k)$. La discretisation en temps utilisée est de type semi-implicite, et est donnée par

$$(u_{n+1} - u_n)/\Delta t - u_nu_{n+1,x} = \sigma u_{n+1,xx},$$

avec $u_0(x) = u(x,0)$ donnée. Dans l'approche de Galerkin, les coefficients du developpement de $u_{n+1}$ sont choisis de façon à être l'unique ensemble de coefficients pour lesquels l'equation ci-dessus reste valide par projection sur l'espace engendré par la base de Galerkin considérée.

La méthode d'ondelettes-Galerkin peut être utilisée pour calculer de façon stable les solutions de l'équation de Burgers pour de très faibles valeurs du coefficient de viscosité $\sigma$, incluant le cas limite $\sigma = 0$. Les oscillations numériques associées au phénomène de Gibbs à l'endroit des chocs sont confinées à un petit voisinage de ceux-ci et sont, de plus, d'amplitude bien moindre que ceux produits par des approximations par différences finies, ou spectrales. En fait, même pour les très faibles valeurs du coefficient de viscosité $\sigma$, les oscillations se stabilisent et les solutions approchées convergent vers la (non oscillante) bonne solution.

Ce bon comportement a lieu pour des valeurs de $\sigma$ pour lesquelles les approximations par différences finies et spectrales sont instables. De plus, la composante oscillante de la solution a une modulation régulière ce qui permet de la filtrer pour obtenir une solution correcte.

Au vu de ces résultats, la méthode d'ondelettes-Galerkin semble fournir une technique robuste et générale pour capturer les chocs, et plus généralement pour résoudre les équations aux dérivées partielles dont les solutions présentent des discontinuités ou des fort gradients.